Komplexe Zahlenrechnung
Einleitung - Aufgabe von Leibnitz:
In einem Brief an Christian Huygens schrieb Gottfried Willhelm Leibniz (1646-1716), dass es sehr merkwürdig sei,
dass
sei, denn, obwohl es
gar nicht gäbe, erhielte man bei der Rechnung doch ein "reales" Ergebnis, nämlich die
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Rechnung
Was sind komplexe Zahlen?
Es gibt quadratische Gleichungen, die im Bereich der reellen Zahlen lösbar sind. Es gibt aber auch solche, die nicht lösbar sind, wie z.B. x2 = -1 , denn Quadrate reeller Zahlen sind nie negativ.
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Die Gleichung 4x = 7 besitzt z.B. keine ganzzahlige Lösung. Durch die Erweiterung von ganzen Zahlen auf Bruchzahlen wird sie lösbar. (x = 7/4).
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Aus diesem Grund liegt die Frage nahe, ob reelle Zahlen nicht auch so erweitert werden können, dass alle quadratischen Gleichungen lösbar werden.
Leonhard Euler (1707 - 1783) war einer der ersten Mathematiker, der versuchte dieses Problem zu lösen.
Er führte eine neue Zahl i ein. Diese sollte die Lösung der Gleichung x2 = -1 sein. i wird als imaginäre Einheit bezeichnet.
Damit es in der Elektrotechnik nicht zu Verwechslungen kommt wurde anstatt i die Zahl j eingeführt.
Die komplexen Zahlen erweitern den Zahlenbereich der reellen Zahlen derart, dass auch Quadrate negativer Zahlen ( j2 =-1 )berechnet werden können.
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Das Problem j2 = -1 ist zu lösen.
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Wie würden wir bei j2 = 4 vorgehen? Einfach die Wurzel ziehen und schon erhalten wir für j das Ergebnis j = 2
Versuchen Sie einmal die Wurzel aus -4 zu ziehen! Das hat Ihr Taschenrechner nicht so gerne.
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Eine komplexe Zahl setzt sich aus zwei Teilen zusammen. Sie besteht aus einem Realteil und einem Imaginärteil.
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Z = a + bj wobei a und b reelle Zahlen sind und j die imaginäre Einheit ist.
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j = die imaginäre Einheit
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Auf die so dargestellten komplexen Zahlen lassen sich die üblichen Rechenregeln für reelle Zahlen anwenden, wobei j2 stets durch -1 ersetzt werden kann und umgekehrt.
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Der so konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die sich in vielen Bereichen der Natur- und Ingenieurwissenschaften als äußerst nützlich erwiesen haben.
Darstellungsarten
1.) Komponentenform
Die Schreibweise z = a+bj wird als Komponentenform bezeichnet
Auf der imaginären Achse (y-Achse) wird der Imaginärteil und auf der reellen Achse (x-Achse) der Realteil einer komplexen Zahl aufgetragen.
Ähnlich einer Schatzkarte (gehe 4 Schritte nach rechts und 3 Schritte nach links) kommen Sie auf den Punkt Z.
Eine komplexe Zahl z = a+bj lässt sich in der Gaußschen Zahlenebene durch einen Punkt Z darstellen. Hierzu fasst man den Real- und den Imaginärteil der komplexen Zahl als kartesische Koordinaten des Punktes Z in der x,y-Ebene auf.
Beispiel #1
Z = 3 + 4j
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Hier tragen wir 3 auf der Realachse (x) und 4 auf der imaginären Achse (y) auf. Daraus resultierend erhalten wir den Punkt Z und durch Verbinden mit einem Pfeil (vom 0-Punkt nach Z) den Betrag von r.
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Den Betrag von r können wir nun ganz einfach nach Pythagoras mit a2 = b2 + c2 , in unserem Fall also r2 = a2 + b2 berechnen.
und wir erhalten für r den Wert 5
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Der Betrag von Z - also |Z| = r und das ist die Länge des Zeigers. (Nur die Länge, ohne Winkel)
2.) Trigonometrische Form (Polarform)
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In der trigonometrischen Form stellen wir die Beziehung zwischen r und dem Winkel phi her. Somit kann man jede komplexe Zahl anhand ihres Betrages r und des Winkels phi bestimmen.
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Denken wir wieder an unsere Schatzkarte (4 Schritte nach rechts und 3 nach links) so können wir auch sagen:
Gehe 5 Schritte in einem Winkel von z.B. 60° um an den Punkt Z zu gelangen.
Beispiel #2
r = 5,656
phi = 45°
Ges: Z
Z = 4 + 4j
Beispiel #3
a = 4
b = 4
Ges: phi, r, Z
3.) Eulersche Form
Die Eulersche Formel ist ein äußerst wichtiges Ergebnis der Mathematik. Sie lautet:
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Daraus ergibt sich
