Die Gaußsche Zahlenebene
... besteht aus 4 Quadranten wie folgendes Beispiel zeigt:
Hier müssen wir stehts darauf achten, in welchen Quadranten wir uns befinden, da uns unser Taschenrechner den korrekten Winkel nicht anzeigt.
Beispiel #1
Z = 3 + 4j
Gesucht ist die konjugiert komplexe Zahl, der Betrag r, der Winkel phi, und das Zeigerdiagramm.
ist die Darstellungsform einer konjugiert komplexen Zahl. Hier wird einfach das Vorzeichen des Imaginärteiles umgedreht.
Aus 3 + 4j wird also 3 - 4j.
Der Betrag r berechnet sich aus:
r = 5
Der Winkel phi berechnet sich aus:
phi = 53,13° (dies gilt für Z)
Für die konjugiert komplexe Zahl
gilt:
phi = -53,13° (Dieses Ergebnis erhalten wir von unserem Taschenrechner)
Die Frage ist nun, in welchem Quadranten befinden wir uns?
Da der Winkel mathematisch korrekt von 0° bis 360° gegen den Uhrzeigersinn verläuft, müssen wir zu -53,13° + 360° addieren! phi = 306,87°
Wir erkennen dies auch in unserem Zeigerdiagramm:
Beispiel #2
Gegeben: Z = -3 - j
Gesucht:
1. Graph in der Gaußschen Zahlenebene
2. Z in goniometrischer Form
3. Z in Eulerscher Form
Wir tragen in der Gaußschen Zahlenebene für den Realteil -3 und den Imaginärteil -1 ein. (-j = -1j)
Damit erhalten wir unseren Zeiger und wissen, wir befinden uns im III-Quadranten. Somit befindet sich unser Winkel phi zwischen 180° und 270°.
Nun berechnen wir den Betrag von Z. (r) = (Zeigerlänge)
Um die goniometrische Form (Z = r, phi) = r * (cos phi + j sin phi) darzustellen, fehlt uns noch der Winkel phi.
Den Winkel phi berechnen wir mit:
= arctan (-1/-3) = 18,43° (lt. unserem Taschenrechner)
Da unser Taschenrechner nicht weiß, in welchem Quadranten wir uns befinden, hilft uns das Zeigerdiagramm. Da der Winkel im mathematischen Sinn gegen den Uhrzeigersinn gerichtet ist müssen wir korrigieren.
18,43° + 180° = 198,43°
phi = 198,43°
Z = (3,16, 198,34°) = 3,16 * (cos 198,34° + sin 198,34°)
Nun wandeln wir unser Ergebnis in die Eulersche Form nach der Formel
ergibt sich:
